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简介

快速幂算法是用于快速计算的算法，可以用于快速的处理大整数幂的场景。

最简单的 for 循环求数字的 n 次幂需要 $O(n)$ 的时间复杂度。快速幂方法可以达到 $O(\\log N)$ 的时间复杂度。

快速幂的核心思想是将指数拆分，以达到快速计算的目的。

快速幂 - 二进制法

原理

二进制法的核心思想是将指数转换为二进制形式，通过逐位处理并结合平方运算减少乘法次数。

二进制分解指数 将指数 $n$ 表示为二进制形式，例如 $n=13$ 对应二进制为 1101，即 $13=8+4+1=2^3+2^2+2^0$ 。

幂的拆分 根据二进制分解， $a^n=a^{2^k} \\times a^{2^{k-1}} \\times \\dots \\times a^{2^0}$ ，其中仅当二进制位为 1 时，对应项被保留。

逐位处理与平方加速

从最低位到最高位依次处理二进制每一位。
若当前位为 1，则将当前的底数累乘到结果中。
每一步将底数平方，为处理更高位做准备。

代码示例

def power(base, exp):
    res = 1
    while exp > 0:
        if exp & 1:
            res *= base
        base *= base
        exp >>= 1
    return res

快速幂 - 折半法

原理

折半法的核心公式如下：

我们要快速计算 $a$ 的 $n$ 次方：

当 $n$ 为奇数的时候： $a^n = a \\cdot (a^2)^{(n-1)/2}$
当 $n$ 为偶数的时候： $a^n = (a^2)^{n/2}$
当 $n$ 为 0 的时候，直接返回 1

通过递归或迭代，将大指数问题分解为小指数问题，最后合并结果。

代码示例

def power(base, exp):
    if exp == 0: return 1
    half = power(base, exp // 2)
    return half * half * (base if exp % 2 else 1)

特性	二进制法	折半法
实现方式	迭代 + 位运算	递归/迭代 + 分治
时间复杂度	$O(\\log N)$	$O(\\log N)$
空间复杂度	$O(1)$	$O(\\log N)$ （递归）

`,24)])])}const h=a(i,[["render",e]]),r=JSON.parse('{"path":"/archives/1325a3bf-91d7-43ff-9630-e894549e12c1/","title":"快速幂算法详解","lang":"zh-CN","frontmatter":{"title":"快速幂算法详解","createTime":"2026/01/09 16:05:00","cover":"/images/elysia/9.jpg","coverStyle":{"layout":"left"},"permalink":"/archives/1325a3bf-91d7-43ff-9630-e894549e12c1/","description":"简介快速幂算法是用于快速计算的算法，可以用于快速的处理大整数幂的场景。最简单的 for 循环求数字的 n 次幂需要 O(n) 的时间复杂度。快速幂方法可以达到 O(logN) 的时间复杂度。快速幂的核心思想是将指数拆分，以达到快速计算的目的。快速幂 - 二进制法原理二进制法的核心思想是将指数转换为二进制形式，通过逐位处理并结合平方运算减少乘...","head":[["script",{"type":"application/ld+json"},"{\\"@context\\":\\"https://schema.org\\",\\"@type\\":\\"Article\\",\\"headline\\":\\"快速幂算法详解\\",\\"image\\":[\\"https://www.simengweb.com/images/elysia/9.jpg\\"],\\"dateModified\\":\\"2026-01-09T08:10:29.000Z\\",\\"author\\":[]}"],["meta",{"property":"og:url","content":"https://www.simengweb.com/archives/1325a3bf-91d7-43ff-9630-e894549e12c1/"}],["meta",{"property":"og:site_name","content":"仲夏夜之梦"}],["meta",{"property":"og:title","content":"快速幂算法详解"}],["meta",{"property":"og:description","content":"简介快速幂算法是用于快速计算的算法，可以用于快速的处理大整数幂的场景。最简单的 for 循环求数字的 n 次幂需要 O(n) 的时间复杂度。快速幂方法可以达到 O(logN) 的时间复杂度。快速幂的核心思想是将指数拆分，以达到快速计算的目的。快速幂 - 二进制法原理二进制法的核心思想是将指数转换为二进制形式，通过逐位处理并结合平方运算减少乘..."}],["meta",{"property":"og:type","content":"article"}],["meta",{"property":"og:image","content":"https://www.simengweb.com/images/elysia/9.jpg"}],["meta",{"property":"og:locale","content":"zh-CN"}],["meta",{"property":"og:updated_time","content":"2026-01-09T08:10:29.000Z"}],["meta",{"name":"twitter:card","content":"summary_large_image"}],["meta",{"name":"twitter:image:src","content":"https://www.simengweb.com/images/elysia/9.jpg"}],["meta",{"name":"twitter:image:alt","content":"快速幂算法详解"}],["meta",{"property":"article:modified_time","content":"2026-01-09T08:10:29.000Z"}]]},"readingTime":{"minutes":1.86,"words":558},"git":{"createdTime":1767946229000,"updatedTime":1767946229000,"contributors":[{"name":"祀梦","username":"","email":"3501646051@qq.com","commits":1,"avatar":"https://gravatar.com/avatar/6406a81eeddc359cf3d3ce018797689fc6d014ff06215c27d0210b42e8f5a8ab?d=retro"}]},"autoDesc":true,"filePathRelative":"blog/technology/fast-power-algorithm.md","headers":[],"categoryList":[{"id":"126ac9","sort":10000,"name":"blog"},{"id":"750eb7","sort":10001,"name":"technology"}]}');export{h as comp,r as data};