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title: 替换密码
createTime: 2025/10/27 10:47:42
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# 替换密码（Substitution Ciphers）

我们一起来系统梳理古典加密算法（Classical Ciphers）。这些算法虽然在现代已不再安全，但它们是密码学发展的基石，蕴含了替换、置换、密钥等核心思想，非常适合理解密码学的基本原理。

替换密码的核心思想是“一对一”或“多对一”的字符映射：把明文中的每一个字母（或符号）按照事先约定好的规则，替换成另一个字母（或符号）。  

这种映射可以是固定不变的（如凯撒密码的“统一移位”），也可以是依赖密钥动态变化的（如维吉尼亚密码的“周期移位”）。
  
由于密文保留了原始字母的出现频率，只是“换了一张皮”，所以替换密码在本质上没有改变字母的统计特性，这也为频率分析攻击留下了突破口。  

替换操作可以手工完成，也可以通过查表、转盘、甚至机械电路实现，是后续更复杂多表替换与乘积密码的雏形。

## 一、凯撒密码（Caesar Cipher）

**工作原理**：
凯撒密码是一种循环移位密码，将字母表视为一个环形结构。加密时每个字母向后移动固定位置 $k$，解密时向前移动相同位置。

**数学表示**：
设字母 A-Z 对应数字 0-25，则：

加密公式：
$$E(x) = (x + k) \mod 26$$

解密公式：
$$D(x) = (x - k) \mod 26$$

其中 $x$ 是明文字母编号，$k$ 是密钥（0 ≤ k ≤ 25）。

**特点**：
- 实现简单，易于理解
- 密钥空间仅 $26$ 种可能，安全性极低
- 易受频率分析攻击
- 主要具有教学价值


## 二、单表替换密码（Simple Substitution Cipher）

**工作原理**：
单表替换密码是凯撒密码的泛化形式，它使用一个随机的字母替换表，而不是固定的移位。每个明文字母都被唯一地映射到一个密文字母，形成一对一的替换关系。

```mermaid
graph LR
    A[明文字母] --> B{替换表}
    B --> C[密文字母]
```

**数学表示**：
设字母表 $\Sigma = \{A,B,C,...,Z\}$，替换函数 $f: \Sigma \rightarrow \Sigma$ 是一个双射（一一对应），则：

加密公式：
$$E(x) = f(x)$$

解密公式：
$$D(y) = f^{-1}(y)$$

其中 $f^{-1}$ 是 $f$ 的逆函数。

**密钥空间**：
单表替换密码的密钥空间是所有可能的字母排列，大小为：
$$|K| = 26! \approx 4.03 \times 10^{26}$$

这个巨大的密钥空间使得暴力破解在计算上不可行。

**示例**：
假设替换表为：
```
A→Q, B→W, C→E, D→R, E→T, F→Y, G→U, H→I, I→O, J→P,
K→A, L→S, M→D, N→F, O→G, P→H, Q→J, R→K, S→L, T→Z,
U→X, V→C, W→V, X→B, Y→N, Z→M
```

```mermaid
flowchart LR
    A[明文: HELLO] --> B[替换加密]
    B --> C[密文: ITSSG]
    C --> D[逆替换解密]
    D --> E[明文: HELLO]
```

**安全性分析**：
虽然单表替换密码的密钥空间巨大，但它仍然易受**频率分析攻击**。因为：

1. **字母频率保留**：高频字母（如E、T、A）在密文中仍然是高频
2. **单词模式保留**：常见单词模式（如"THE"、"ING"）在密文中保持相同模式
3. **双字母频率**：常见字母对（如"TH"、"ER"）的频率特征仍然存在

**攻击方法**：
- 单字母频率分析
- 双字母频率分析
- 单词长度和模式分析
- 已知明文攻击

**特点**：
- 密钥空间巨大（$26!$），理论上难以暴力破解
- 仍然易受统计攻击
- 是密码学历史上重要的里程碑
- 为现代密码学提供了重要启示



## 三、维吉尼亚密码（Vigenère Cipher）

**工作原理**：
维吉尼亚密码是一种多表替换密码，它使用一个关键词来决定每次替换的凯撒密码移位量。关键词的每个字母对应一个移位量，明文的每个字母根据关键词的循环使用进行替换。

```mermaid
graph LR
    A[明文] --> B{关键词循环扩展}
    B --> C[明文与关键词按位组合]
    C --> D{多表替换}
    D --> E[密文]
```

**数学表示**：
设字母 A-Z 对应数字 0-25。
明文 $P = p_0 p_1 ... p_{n-1}$
关键词 $K = k_0 k_1 ... k_{m-1}$ (长度为 $m$)

加密公式：
$$E(p_i) = (p_i + k_{i \pmod m}) \mod 26$$

解密公式：
$$D(c_i) = (c_i - k_{i \pmod m}) \mod 26$$

其中 $p_i$ 是明文第 $i$ 个字母的数字表示，$k_{i \pmod m}$ 是关键词循环后对应第 $i$ 个字母的数字表示，$c_i$ 是密文第 $i$ 个字母的数字表示。

**示例**：
明文：`ATTACKATDAWN`
关键词：`LEMON`

1.  **关键词循环扩展**：
    将关键词 `LEMON` 循环扩展至与明文等长：`LEMONLEMONLE`

2.  **明文与关键词按位组合（数字表示）**：
    将明文和扩展后的关键词转换为数字 (A=0, B=1, ..., Z=25)。
    明文数字: `0 19 19 0 2 10 0 19 3 0 22 13`
    关键词数字: `11 4 12 14 13 11 4 12 14 13 11 4`

3.  **加密运算**：
    对每对明文数字 $p_i$ 和关键词数字 $k_{i \pmod m}$ 执行 $(p_i + k_{i \pmod m}) \mod 26$ 运算。
    例如：
    - 第一个字母：明文 A (0) + 关键词 L (11) = $(0 + 11) \mod 26 = 11 \rightarrow L$
    - 第二个字母：明文 T (19) + 关键词 E (4) = $(19 + 4) \mod 26 = 23 \rightarrow X$
    - 第三个字母：明文 T (19) + 关键词 M (12) = $(19 + 12) \mod 26 = 5 \rightarrow F$
    ...
    最终密文：`LXFOPVEFRNHR`


**安全性分析**：
维吉尼亚密码比单表替换密码更安全，因为它引入了**多表替换**，使得密文的字母频率分布趋于平坦，从而抵抗了简单的频率分析攻击。

然而，它并非绝对安全，主要弱点在于**关键词的周期性**：
1.  **Kasiski 测试**：通过分析密文中重复出现的字母组，可以推断出关键词的长度。
2.  **频率分析（针对子密码）**：一旦关键词长度确定，密文可以被分成若干个凯撒密码，然后对每个子密码进行频率分析。

**特点**：
-   多表替换，比单表替换密码更安全
-   引入了关键词的概念，增强了密钥的复杂性
-   易受Kasiski测试和频率分析的组合攻击
-   在历史上曾被认为是“牢不可破的密码”


## 附件：
具体的使用样例代码请参考：[https://gitea.simengweb.com/si-meng-spec/cryptography-example-code](https://gitea.simengweb.com/si-meng-spec/cryptography-example-code)