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title: 第十四届蓝桥杯大赛软件赛国赛 Python 研究生组（正在更新）
createTime: 2026/01/09 15:57:22
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  - contest
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## 一、X 质数

### 题目

题目链接：0X质数 - 蓝桥云课

### 问题描述

对于一个含有 M 个数位的正整数 N ，任意选中其中 K 个不同的数位（0≤K<M），将这些选中的数位删除之后，余下的数位按照原来的顺序组成了一个新的数字 P 。如果至少存在一个 P 是质数，我们就称 N 是一个 X 质数。例如，对于整数 7869 ，我们可以删去 7 和 6 ，得到一个新的数字 89 ，由于 89 是一个质数，因此 7869 是一个 X 质数。又如，对于整数 77 ，可以删去一个 7 后变为质数 7 ，因此 77 也是一个 X 质数。

请问 1 （含）至 1000000（含）中一共有多少个不同的 X 质数。

### 解析

先通过埃氏筛，获取到范围内的所有质数。然后遍历每个数字的所有子串，查看是否满足 X 质数的定义，我们只要找到一个符合条件的子串即可退出循环，只要子串是质数或者 X 质数，我们都可以认定当前数字为 X 质数。

这里在寻找每个数的子串的时候，可以采用二进制的方式，详情查看：通过位运算快速生成所有的子序列|祀梦的个人博客

### 答案

```python
# import os
# import sys

# def is_prime(n):
#     _nums = [True] * (n + 1)
#     _nums[0] = _nums[1] = False
#     for i in range(2, n):
#         if _nums[i]:
#             for j in range(i ** 2, n + 1, i):
#                 _nums[j] = False
#     return _nums

# N = 1000000
# nums = is_prime(N)
# ans = 0

# for num in range(N + 1):
#     digits = [int(n) for n in str(num)]
#     length = len(str(num))
#     for mask in range(1,1 << length):
#         subseq = 0
#         for i in range(length):
#             if mask & ( 1 << i ):
#                 subseq = subseq * 10 + digits[i]
#         if nums[subseq]:
#             nums[num] = True
#             ans += 1
#             break

# print(ans) # 989457
print(989457)
```

## 二、顶板上的正方形

### 题目

题目链接：0钉板上的正方形 - 蓝桥云课

### 问题描述

小蓝有一个大小为 10×1010×10 钉板，如下图所示，上面等距分布着 10×1010×10 个钉槽(上下/左右相邻的钉槽之间的距离均相同)。其中有一些钉槽上面有钉子， 在图中用红色来进行标注，白色则表示此处没有钉子。小蓝喜欢用橡皮筋在钉 子上围出正方形图案，即选择钉板上的四个钉子，将其作为正方形的四个顶点， 从而把橡皮筋拉伸为一个正方形。

现在，小蓝想要知道在这个钉板上，可以围出多少种边长不同的正方 形?(相同边长的正方形均视作是同一种，不用考虑正方形的位置)。图中展示 了三种不同边长的正方形，其中蓝色线条表示橡皮筋。

### 解析

参考了评论区的大哥（马国良的个人主页 - 蓝桥云课）的思路，如下图所示

dr 为行之间的差距

dc 为列之间的差距

我们遍历 A 和 B，计算 C 和 D 的坐标，分别为 ( x2 + dr , y2 - dc )，( x1 + dr , y1 - dc )

然后确保CD没有超过棋盘范围并且都有钉子即可

### 答案

```python
import os
import sys
from itertools import combinations

arr = [
    [1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1],
    [1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0],
    [1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1],
    [1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0],
    [1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0],
    [1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1],
    [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0],
    [0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0],
    [0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1],
    [1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0]
]
points = [(i, j) for i in range(10) for j in range(10) if arr[i][j]]
squares = set()

for (x1, y1), (x2, y2) in combinations(points, 2):
        dx, dy = x1 - x2, y1 - y2
        x3 = x2 + dy
        y3 = y2 - dx
        x4 = x1 + dy
        y4 = y1 - dx
        if all(0 <= coord < 10 for coord in [x3, y3, x4, y4]):
            if arr[x3][y3] and arr[x4][y4]:
                squares.add(dx*dx + dy*dy)
print(len(squares))
```

## 三、整数变换

### 题目

题目链接：0整数变换 - 蓝桥云课

### 问题描述

小蓝有一个整数 n。每分钟，小蓝的数都会发生变化，变为上一分钟的数减去上一分钟的数的各个数位和。

例如，如果小蓝开始时的数为 23，则下一分钟变为 23−(2+3)=18，再下一分钟变为 18−(1+8)=9，再下一分钟变为 9−9=0，共经过了 3 分钟变为 0。

给定一个正整数，请问这个数多少分钟后变为 0。

### 解析

这题直接暴力就过了。

Python3 跑出来只能通过 60% 的测试用例，用 PyPy3 就好了。

### 答案

```python
import os
import sys

num = int(input())
count = 0
while num != 0:
    num -= sum(map(int,str(num)))
    count += 1
print(count)
```

### 整数变换的第二种做法

### 答案

```python
import os
import sys

# 对 1000 以内的数进行预处理
# difference[i][j] 代表每次减去 sum_digits(i) + j 之后，剩余的值，可能为负数
# step[i][j] 记录最终结果
# 题目中数字的最大值范围为 10的9 次方，我们每一步多减去的 j 值代表的其实是前六位的和
# j 最大也就是 54（ 前六位都是9 ）

difference = [[0 for _ in range(55)] for _ in range(1000)]
step = [[0 for _ in range(55)] for _ in range(1000)]

# 这里要考虑一下边界情况，有可能后三位为 0 前六位还有
# 这个时候要减去前六位的值
# 并且步数需要加一步
difference[0] = [-num for num in range(55)]
step[0] = [0] + [1 for num in range(54)]

# 先计算出 0 ~ 999 以内的数的值
for i in range(1,1000):
    # 遍历所有可能的 j 值
    for j in range(55):
        ans,num = 0,i
        while num > 0:
            num -= ( sum(map(int,str(num))) + j )
            ans += 1
        difference[i][j] = num
        step[i][j] = ans

# 当 num 小于 1000 的时候直接返回
num = int(input())
if num < 1000:
    print(step[num][0])
else:
    ans = 0
    while num:
        if num < 1000:
            ans += step[num][0]
            break
        # x 为前六位
        # y 为后三位
        x = num // 1000
        y = num % 1000
        # 直接加上步数，以及溢出的值即可
        ans += step[y][sum(map(int,str(x)))]
        num = x * 1000 + difference[y][sum(map(int,str(x)))]
    print(ans)
```

## 四、火车运输

## 五、最大区间

### 题目

题目链接：0最大区间 - 蓝桥云课

### 问题描述

给定一个长度为 n 的序列 Ai​，求 L,R 使 (R−L+1)⋅min⁡(AL,AL+1,…,AR) 尽可能大，其中 min⁡ 表示最小值。

你只需要输出最大的值即可，不需要输出具体的 L,R。

### 解析

这道题要求给定字符串中的 (R−L+1)⋅min⁡(AL,AL+1,…,AR) 的最大值，每次计算区间内的最小值再扩展区间很麻烦，我们可以转换一下思路以当前元素为区间内的最小元素，视为右边界，然后不断向左边扩展，一直到小于当前元素的位置停下，就可以得到当前区间的结果。（这里为什么不用向右边扩展，因为如果存在这种情况的话，右边向左扩展的时候会包括这一段）我们可以采用单调递增栈来加快寻找的速度，0 是为了确保清空栈。

可以用下面这个例子 debug 一下程序查看运行过程。

n = 6

A = [1,2,3,2,3,2]

（感觉解释的还是不太够清楚，有啥问题可以直接评论）

### 答案

```python
import os
import sys

n = int(input())
A = list(map(int,input().split()))
A.append(0)

stack = []
ans = 0

for i in range(n+1):
    while stack and A[i] <= A[stack[-1]]:
        prev_i = stack.pop()
        L = stack[-1] if stack else -1
        ans = max( ( i - L - 1 ) * A[prev_i] ,ans)
    stack.append(i)

print(ans)
```

## 六、等腰三角形

## 七、连续数组

## 八、质数排序

## 九、选段排序

## 十、最长同类子串

